Le ski acrobatique est une discipline pratiquée aux jeux olympiques. Cette discipline se décompose en 3 épreuves :
Le ski de bosses : le skieur dévale une pente parsemée de bosses, il est noté sur son style et le temps de parcours.
L’acroski : le skieur effectue des figures au sol à l’aide de ses bâtons.
Le saut à ski: Le skieur prend son élan sur une piste de 55 m de long, décolle à l’aide d’un tremplin et effectue des figures pendant son saut. Il peut effectuer des sauts de 50 pieds de haut et atteindre la vitesse de 60 km/h en sortie de tremplin. Le skieur doit choisir parmi 6 tremplins suivant le nombre de figures qu’il désire réaliser lors de son saut.
Nous nous intéresserons dans ce document à l’épreuve de saut à ski. Un saut se décompose en 3 parties :
La prise d’élan sur une piste composée d’une partie plane (AC) et d’un arc de cercle .
Le saut
La réception sur la piste.
La simulation du saut peut-être effectuée à partir de la figue Géoplan ci-dessous.
télécharger la figure Géoplan :
1°partie : le skieur avant l’envol.
1. Inclinaison et longueur de la piste (AC) produit scalaire
On donne les points A(-4 ; 16) C(-54,4 ; 37,6) et D(-54,4 ; 16)
1.1. Calculer les coordonnées des vecteurs
1.2.Calculer le produit scalaire.
1.3.Calculer, en mètres, . Arrondir à 0,1 si besoin. En déduire la longueur de la partie plane de la piste d’élan.
1.4.Calculer, en degré, la mesure de l’angle , angle d’inclinaison de la piste. Arrondir à l'unité. On utilisera pour cela les réponses aux 2 questions précédentes.
2. Vitesse d’envol : longueur d’un arc de cercle
Le tremplin est un arc de cercle de centre E et de rayon [EA] = 4,86 m. L’angle mesure 59,5°.
2.1.Calculer, en mètres, la longueur de l’arc . Arrondir à 10-2.
2.2.Le skieur parcourt cette distance en 0,3 seconde. Calculer, en km/h, la vitesse moyenne du skieur sur cet arc de cercle . Arrondir à l’unité.
2.3.On donne : B(0 ;18,7). Calculer, en mètres, la hauteur du tremplin. Arrondir au cm.
3. Trajectoire du skieur sur le tremplin : système d’équations
Le centre de gravité G du skieur décrit un arc de parabole lorsque le skieur parcourt le tremplin.
On se propose de déterminer l’équation de cette parabole. Pour cela on sait que :
L’équation d’une parabole est de la forme y = ax² + bx + c.
Les points G2(-4 ; 17), G3(-2 ; 17,75) et G4(0 ; 20) sont sur l’arc de parabole.
3.1.A l’aide des coordonnées des points G2, G3 et G4 :
3.1.1. Déterminer la valeur de "c" de l’équation à l’aide des coordonnées du point G4.
3.1.2.Montrer qu’en utilisant les coordonnées des points G2 et G3 on aboutit au système d’équations :
3.2.Résoudre le système ci-dessus et donner alors l’équation de la parabole sur laquelle se trouvent G2,G3 et G4.
2°partie : le saut et l’atterrissage du skieur.
1. Trajectoire et hauteur du saut : fonction numérique.
Nous nous intéressons maintenant à la trajectoire du centre de gravité du skieur pendant le saut.
On veut tracer cette trajectoire.
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 40] par:
1.1.Trajectoire :
1.1.1.Compléter le tableau de l'annexe 1. Arrondir les valeurs à 0,1mètre.
1.1.2. Tracer la courbe C représentant la fonctionfsur le repère de l'annexe 1.
1.2. Hauteur du saut :
1.2.1.Déterminer f ’(x) où f ’ est la dérivée def.
1.2.2.Déterminerxtel que f’(x) = 0.
1.2.3. En déduire le maximum (ordonnée) de la fonction f et l’abscisse xmax. correspondant à ce maximum.
1.2.4. Compléter le tableau de variations de la fonctionf sur [0 ; 40] figurant en annexe 1.
La partie plane de la piste est représentée sur la simulation et sur le repère de l’annexe 1 par une fonction affine telle que :
1.2.5. Calculer g(xmax). Arrondir à 0,1.
1.2.6. Calculer, en mètres, la hauteur du saut effectué par le skieur.
2. Point de chute : équation du second degré
Après l’atterrissage, la trajectoire du skieur au sol est dans le prolongement de la droite (G2G5). Nous devons déterminer l’abscisse du point de chute du skieur lorsqu’il atterrit sur la piste. Ce point de chute se trouve à l’intersection de la trajectoire en vol (donnée par la représentation graphique de fet de la droite (G2G5).
Le point G5(45 ; -4) correspond à une position occupée par le skieur après son atterrissage.
2.1. Sur le repère de l’annexe 1 :
Tracer la droite (G2G5),
Repérer, sur le graphique de l’annexe1,le point d’atterrissage du skieur.
2.2. Déterminer l’équation de la droite (G2G5). Les valeurs de "a" et "b" de l’expression y = ax + bseront données sous forme de fraction.
2.3. Résoudre l’équation du second degré : Arrondir les solutions à 10-1.
Justifier la valeur choisie, parmi les solutions, comme abscisse du point d’atterrissage.
3°partie : choix du tremplin.
1. Nuage de points : représentation graphique : point moyen
Le skieur choisit, parmi 6 tremplins de hauteurs différentes, le tremplin approprié en fonction du nombre de figures qu’il veut effectuer pendant son saut.
On a relevé dans le tableau ci-dessous la hauteur (H) du tremplin choisi et le nombre (N) de figures effectuées par 8 skieurs lors d’une compétition.
Hauteur du tremplin (H)
2,3
2,3
2,5
2,5
2,9
2,9
3,1
3,3
Nombre de figures (N)
2
3
3
4
4
5
5
6
1.1. Compléter la représentation de la série statistique double dans le repère de l’annexe 2.
1.2.Calculer les coordonnées du point moyen O1 des 4 premiers points du nuage.
1.3.Calculer les coordonnées du point moyen O2 des 4 derniers points du nuage.
1.4.Placer les points O1 et O2 dans le repère de l’annexe 2 puis tracer la droite (O1O2).
2. Droite d’ajustement affine :
2.1. Déterminer l’équation de la droite (O1O2). Arrondir la valeur du coefficient directeur à 0,01.
2.2.Le skieur de la simulation effectue 4 loopings. Déterminer graphiquement la taille du tremplin qu’il doit choisir. Retrouver ce résultat par le calcul.
Annexe 1
Tableau de valeurs
x
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Tableau de variations :
x
0 …… 40
Signe de f’(x)
Variation de f
Courbe représentative
Annexe 2
Courbe représentative
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. Arrondir à 0,1 si besoin.
, angle d’inclinaison de la piste. 
mesure 59,5°.
. Arrondir à 10-2.
. Arrondir à l’unité.
